Question

【題目】已知函數（其中，且為常數）.

（1）當時，求函數的單調區間；

（2）若對于任意的，都有成立，求的取值范圍；

（3）若方程在上有且只有一個實根，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）在（0,1），上單調遞增，在（1,2）上單調遞減（Ⅱ）（Ⅲ）

【解析】【試題分析】（1）將代入再求導，借助導函數值的符號確定函數的單調區間；（2）借助問題（1）的結論，對參數進行分類討論，最終確定參數的取值范圍；（3）依據題設條件將問題進行等價轉化為的零點的個數問題，再運用導數知識及分類整合思想進行分析探求：

解：⑴函數的定義域為

由知

當時，

所以函數在（0,1）上單調遞增，在（1,2）上單調遞減，在上單調遞增

（Ⅱ）由

當時,對于恒成立,在上單調遞增

,此時命題成立;

當時,在上單調遞減,在上單調遞增, 當時,有.這與題設矛盾,不合. 故的取值范圍是

（Ⅲ）依題意,設,原題即為若在上有且只有一個零點,求的取值范圍.顯然函數與的單調性是一致的.

當時,因為函數在上遞增,由題意可知解得;

當時,因為,當時,總有,此時方程沒有實根。

綜上所述,當時,方程在上有且只有一個實根。