Question

【題目】已知數(shù)列的前項和為，且，（）.

（1）計算，，，，并求數(shù)列的通項公式；

（2）若數(shù)列滿足，求證：數(shù)列是等比數(shù)列；

（3）由數(shù)列的項組成一個新數(shù)列：，，，，，設為數(shù)列的前項和，試求的值.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析，；（2）；（3）1

【解析】

（1）通過計算出前幾項的值，猜想通項公式，進而利用數(shù)學歸納法證明；

（2）通過與作差，進而計算即得結(jié)論；

（3）通過（2），利用分組法求和，進而計算可得結(jié)論．

（1）解：當時，由，得；

由，得；

當時，由，得；

當時，由，得；

猜想：．

下面用數(shù)學歸納法證明：

①當時， ，結(jié)論顯然成立；

②假設當時，，

由條件知，

故

＝

＝，

于是，

從而，

故數(shù)列的通項公式為：；

（2）證明：當時，，當時，由條件得

＝

從而，

故數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列；

（3）解：由題意，得

故

，

從而.