Question

【題目】如圖,在以為頂點的五面體中,底面是矩形, .

(1)證明: 平面;

(2)在中國古代數學經典著作《九章算術》中,稱圖中所示的五面體為“芻甍”(chúméng),書中將芻甍的體積求法表述為:

術曰:倍下袤,上袤從之,以廣乘之,又以高乘之,六而一.其意思是:若芻甍的“下袤” 的長為,“上袤” 的長為,“廣” 的長為,“高”即“點到平面的距離”為,則芻甍的體積的計算公式為: ,證明該體積公式.

Answer 1

【答案】(1)見解析;(2)見解析.

【解析】分析：（1）先證明，再證明平面.(2)利用割補法證明 .

詳解：（1）證明：是矩形，，

又平面，平面

平面，

又平面，平面平面

又平面，平面，

平面.

（2）解：設分別是棱上的點，且滿足，

鏈接.由第（1）問的證明知，，

所以四邊形和為平行四邊形.

，

又，平面，

多面體為三棱柱.

因此，芻甍可別分割成四棱錐和三棱柱.

由題意知，矩形中，

矩形的面積，

又四棱錐的高，即“點到平面的距離”為，

四棱錐的體積；

三棱柱的體積可以看成是以矩形為底,以點到平面的距離為高的四棱柱體積的一半.

又矩形的面積

三棱柱的體積

芻甍的體積：

.

芻甍體積公式得證.