Question

【題目】已知函數，.

(1)若函數在定義域內單調遞增，求實數的取值范圍；

(2)證明:方程有且只有一個實數根.

Answer 1

【答案】(1) (2) 見解析

【解析】

（1）依題意,得恒成立,即在區間內恒成立；

（2）方程有且只有一個實數根即證明函數的圖象與直線有且只有一個交點.令，研究其圖象變化趨勢即可.

(1)由題得,函數的定義域為

由，

得，

依題意,得恒成立,

所以在區間內恒成立,

所以.

而 ,當且僅當,

即時，等號成立，

故，

因此實數的取值范圍為.

(2)令,即,

即 ，

也就是證明函數的圖象與直線有且只有一個交點.

由，

得

記 ,

所以

令 ，

當時, ,在區間內單調遞減;

當時, ,在區間內單調遞增，

所以當時, 有有極小值 ，

故，

因此在區間內單調遞增，

又因為當,且時, ,當時, ,

因此函數的圖象與直線有且只有一個交點,

故方程有且只有一個實數根.