Question

【題目】設函數.

（1）當時，求函數的零點個數；

（2）若，使得，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1)見解析；(2)

【解析】

（1）利用的符號討論函數的單調性，結合零點存在定理可得零點的個數.

（2）不等式有解等價于對任意恒成立即，構建新函數，求出后分和分類討論可得實數的取值范圍.

解：（1），即，

則，

令解得.

當在上單調遞減；

當在上單調遞增，

所以當時，.

因為，

所以.

又，，

所以，，

所以分別在區間上各存在一個零點，函數存在兩個零點.

（2）假設對任意恒成立，

即對任意恒成立.

令，則.

①當，即時，且不恒為0，

所以函數在區間上單調遞增.

又，所以對任意恒成立.

故不符合題意；

②當時，令，得；令，得.

所以函數在區間上單調遞減，在區間上單調遞增，

所以，即當時，存在，使，即.

故符合題意.

綜上可知，實數的取值范圍是.