Question

【題目】設集合，是正數，且.試求交集的元素個數的最大可能值.

Answer 1

【答案】見解析

【解析】

不妨設，且和都是正整數（），但等比數列，，，…，的各項不一定都是整數，則有

.

顯然，（表示集合的元素個數）.下面對公比分別為有理數和無理數進行討論.

（1）設（與互素，且）下面再對分三種情況進行討論.

當時，由知.由得，，從而，.

當時，由知.由得，，從而.

另一方面，確實存在公比為的6項等比數列：

128，192，288，432，648，972.（如何構造的？）

當時，，.因為與互素，所以，從而.由此即得，，.

故當為有理數時，的最大可能值是6.

（2）設為無理數.由為有理數知為有理數，所以存在最小的正整數，使為有理數（顯然）.設被除所得余數為，即（和為非負整數，且）.由知為有理數，再由的最小性知只能有，即.

記，則由上可知在中，只須用來代替（因為中其他的項為無理數），是公比為有理數，首項為，末項為的等比數列，這就化歸為公比為有理數的情況（1）了.

綜合上述即知：的最大可能值是6.

注：本題是根據加拿大第四屆（1972年）奧林匹克試題第10題改編的.原題為：在公比大于1的等比數列中，最多有幾項是在100和1000之間的整數？這是一個佳題.在[1]和別的資料的解答中，都事先假定了等比數列的各項都為整數，其實這樣是不嚴密的（盡管答案是對的），這里給出的解答試圖糾正這一不妥之處.