Question

【題目】如圖，△ABC的外接圓⊙O的半徑為5，CE垂直于⊙O所在的平面，BD∥CE，CE＝4，BC＝6，且BD＝1，.

（1）求證：平面AEC⊥平面BCED；

（2）試問線段DE上是否存在點M，使得直線AM與平面ACE所成角的正弦值為？若存在，確定點M的位置；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）答案詳見解析；（2）存在，且．

【解析】

試題（1）要證明面面垂直，只需證明一個平面另一個平面的一條垂線，本題在中，求得，從而得為⊙O的直徑，故，從而可證明面，進而證明平面AEC⊥平面BCED；（2）以方向為軸的正方向建立空間直角坐標系，用坐標表示相關點，利用表示向量的坐標，利用列方程求的值，從而確定點的位置．

試題解析：（1）證明：∵平面．

∴，又因為，.

故AD＝，AB＝10＝直徑長，（3分）

∴AC⊥BC.又因為EC⊥平面ABC，所以EC⊥BC.

∵AC∩EC＝C，∴BC⊥平面ACE，又BC平面BCED，

∴平面AEC⊥平面BCED.（6分）

（2）法一：存在，如圖，以C為原點，直線CA為x軸，直線CB為y軸，直線CE為z軸建立空間直角坐標系，則有點的坐標，A（8，0，0），B（0，6，0），D（0，6，1），E（0，0，4）．

則＝（－8，6，1），＝（0，－6，3），

設＝λ＝λ（0，－6，3）＝（0，－6λ，3λ），0<λ<1

故＝＋＝（－8, 6－6λ，1＋3λ）

由（1）易得平面ACE的法向量為＝（0，6，0），

設直線AM與平面ACE所成角為θ，

則sin θ＝＝，解得λ＝.（10分）

所以存在點M，且時，直線AM與平面ACE所成角的正弦值為． （12分）

法二：（幾何法）

如圖，作MN⊥CE交CE于N，連接AN，則MN⊥平面AEC，故直線AM與平面ACE所成的角為∠MAN，且MN⊥AN，NC⊥AC.

設MN＝2x，由直線AM與平面ACE所成角的正弦值為，得AM＝x，所以AN＝x.

另一方面，作DK∥MN∥BC，得EN＝x，NC＝4－x

而AC＝8，故Rt△ANC中，由AN2＝AC2＋NC2

得17x2＝64＋（4－x）2，∴x＝2，∴MN＝4，EM＝2

所以存在點，且時，直線與平面所成角的正弦值為. （12分）