Question

【題目】 如圖所示，△ABC為正三角形，CE⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝AC＝2BD，M是AE的中點.

(1)求證：DE＝DA；

(2)求證：平面BDM⊥平面ECA；

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）見解析

【解析】

試題（1）證線段相等，實質證垂直：AE⊥DM, 取AC的中點N，易得四邊形DBNM為平行四邊形,而由線面垂直判定定理可得BN⊥平面ECA.因此DM⊥平面ECA.即AE⊥DM,（2）由（1）得DM⊥平面ECA，所以根據面面垂直判定定理得平面BDM⊥平面ECA

試題解析:(1)取EC的中點F，連接DF.

∵CE⊥平面ABC，

∴CE⊥BC.易知DF∥BC，∴CE⊥DF.

∵BD∥CE，∴BD⊥平面ABC.

在Rt△EFD和Rt△DBA中，

EF＝CE＝DB，DF＝BC＝AB，

∴Rt△EFD≌Rt△DBA.故DE＝DA.

(2)取AC的中點N，連接MN、BN，則MN//CF.

∵BD//CF，∴MN//BD，

∴N∈平面BDM.

∵EC⊥平面ABC，∴EC⊥BN.

又∵AC⊥BN，EC∩AC＝C，∴BN⊥平面ECA.

又∵BN平面BDM，∴平面BDM⊥平面ECA.