Question

【題目】已知函數（）．

（1）當時，求函數的極值點；

（2）若函數在區間上恒有，求實數的取值范圍；

（3）已知，且，在（2）的條件下，證明數列是單調遞增數列．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）的極大值點為，極小值點為;（Ⅱ）;（Ⅲ）見解析.

【解析】試題分析：（1）求導，利用導函數的零點，研究導函數的符號變化，進而確定函數的極值點；（2）求導、作差、分離常數，將問題轉化為， ，再轉化為求函數的最值問題；（3）利用數學歸納法進行證明.

試題解析：（1）當時， ，

.

令得： .

又，且時， ， 時， .

所以，函數的極大值點為，極小值點為.

（2）因為，由，得，

即， .

又（∵）,∴.

（3）①當時， ,又 , ∴，且，

∴ .

∴，即當時結論成立．

②假設當時，有，且，則當時，

．

∴， 即當時結論成立．

由①，②知數列是單調遞增數列．