Question

【題目】已知函數f（x）=ax4lnx+bx4﹣c在x=1處取得極值﹣3﹣c．
（1）試求實數a，b的值；
（2）試求函數f（x）的單調區間；
（3）若對任意x＞0，不等式f（x）≥﹣2c2恒成立，求實數c的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意知f（1）=﹣3﹣c，因此b﹣c=﹣3﹣c，從而b=﹣3

又對f（x）求導得f′（x）=x3（4alnx+a+4b）

由題意f'（1）=0，因此a+4b=0，解得a=12

（2）解：由（1）知f'（x）=48x3lnx（x＞0），令f'（x）=0，解得x=1

當0＜x＜1時，f'（x）＜0，此時f（x）為減函數；

當x＞1時，f'（x）＞0，此時f（x）為增函數

因此f（x）的單調遞減區間為（0，1），而f（x）的單調遞增區間為（1，+∞）

（3）解：由（II）知，f（x）在x=1處取得極小值f（1）=﹣3﹣c，此極小值也是最小值，

要使f（x）≥﹣2c2（x＞0）恒成立，只需﹣3﹣c≥﹣2c2

即2c2﹣c﹣3≥0，從而（2c﹣3）（c+1）≥0，解得c≥ 或c≤﹣1

所以c的取值范圍為（﹣∞，﹣1]∪[ ，+∞）

【解析】（1）因為x=1時函數取得極值得f（x）=﹣3﹣c求出b，然后令導函數=0求出a即可；（2）解出導函數為0時x的值討論x的取值范圍時導函數的正負決定f（x）的單調區間；（3）不等式f（x）≥﹣2c2恒成立即f（x）的極小值≥﹣2c2 ， 求出c的解集即可．
【考點精析】通過靈活運用利用導數研究函數的單調性和函數的最大(小)值與導數，掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減；求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值即可以解答此題．