Question

【題目】已知函數f（x）滿足f（x﹣1）=﹣f（﹣x+1），且當x≤0時，f（x）=x3 ， 若對任意的x∈[t，t+2]，不等式f（x+t）≥2 f（x）恒成立，則實數t的取值范圍是 ．

Answer 1

【答案】[ ，+∞）
【解析】解：由f（x﹣1）=﹣f（﹣x+1），得f（x0）=﹣f（﹣x﹣1+1）=﹣f（x），
即函數f（x）是奇函數，
若x＞0，則﹣x＜0，則f（﹣x）=﹣x3=﹣f（x），
即f（x）=x3 ， （x＞0），
綜上f（x）=x3 ，
則不等式f（x+t）≥2 f（x）等價為不等式f（x+t）≥f（ x），
∵f（x）=x3 ， 為增函數，
∴不等式等價為x+t≥ x在x∈[t，t+2]恒成立，
即：t≥（ ﹣1）x，在x∈[t，t+2]恒成立，
即t≥（ ﹣1）（t+2），
即（2﹣ ）t≥2（ ﹣1），
則t≥ = ，
故實數t的取值范圍[ ，+∞），
故答案為：[ ，+∞）
根據條件確定函數是奇函數，求出函數f（x）的表達式，并判斷函數的單調性，利用函數的單調性將不等式恒成立進行轉化，即可求出t的最大值．