Question

【題目】已知函數．

（1）若，求的值；

（2）設為整數，且對于任意正整數， ，求的最小值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）3

【解析】試題分析：（1）求導數，根據的符號判斷函數的單調性，根據求的值，解題時注意這一條件的運用；（2）利用（1）的結論，當時， ，

即，進而，此時令，可得，所以，最后在此結論的基礎上，可以得到，故可求出。

試題解析：

（1）因為，

所以，且．

①當a≤0時，f′（x）＞0恒成立，f（x）在（0，+∞）上單調遞增，

所以在（0,1）上f(x)<0, 與f（x）≥0矛盾；

②當a＞0時，令f′（x）=0，解得x=a，

所以當時， 單調遞減；當時， 單調遞增。

所以當時， 有最小值，且，

又因為，

所以，

解得a=1；

（2）由（1）可知當a=1時f（x）=x﹣1﹣lnx≥0，即lnx≤x﹣1，

所以ln（x+1）≤x，當且僅當x=0時等號成立，

令，

所以，

所以．

因為，

所以，

又，

同時當n≥3時， ．

因為m為整數，且對于任意正整數n， ，

所以，

故m的最小值為3．