Question

【題目】已知a，b是實數，函數f（x）=x|x﹣a|+b．
（1）當a=2時，求函數f（x）的單調區間；
（2）當a＞0時，求函數f（x）在區間[1，2]上的最大值；
（3）若存在a∈[﹣3，0]，使得函數f（x）在[﹣4，5]上恒有三個零點，求b的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：當a=2時，f（x）=x|x﹣2|+b= ，

由二次函數的單調性知，

f（x）在（﹣∞，1]上單調遞增，在（1，2）上單調遞減，在[2，+∞）上單調遞增．

（2）解：設g（x）=x|x﹣a|= ，ρ

由于a＞0且1≤x≤2，結合函數f（x）的圖象可知，

若f（1）=f（2），

即g（1）=g（2），

則|1﹣a|=2|2﹣a|，

平方得1﹣2a+a2=16﹣16a+4a2，

即3a2﹣14a+15=0，

得a=3或a= ，

當0＜a≤ 時，g（2）≥g（1），此時g（2）最大，即f（2）最大，最大值為f（2）=2|2﹣a|+b=4﹣2a+b，

若 ＜x＜3時，g（2）＜g（1），此時g（1）最大，即f（1）最大，最大值為f（ ）=|1﹣a|+b=1﹣a+b，

若a≥3時，g（2）＞g（1），此時g（2）最大，即f（2）最大，最大值為f（2）=2|2﹣a|+b=2a﹣4+b，

（3）解：若存在a∈[﹣3，0]，使得函數f（x）在[﹣4，5]上恒有三個零點，

則存在a∈[﹣3，0]，使得b=﹣x|x﹣a|有三個不同的實根；

令g（x）=﹣x|x﹣a|= ，

（�。┊攁=0時，g（x）在[﹣4，5]上單調遞減，故b無解；

（ⅱ）當﹣3≤a＜0時，g（x）在（﹣∞，a）上單調遞減，在[a， ]上單調遞增，在（ ，+∞）上單調遞減，

∵g（﹣4）=4|4+a|=16+4a，g（a）=0，g（ ）= ，g（5）=5a﹣25，

∴g（﹣4）﹣g（ ）= ＞0，g（a）﹣g（5）=25﹣5a＞0，

∴0＜b＜ ，

∴0＜b＜ ．

【解析】（1）當a=2時，作出函數f（x）的表達式，利用數形結合即可求函數f（x）的單調區間；（2）當a＞0時，先求出f（1）=f（2），然后利用數形結合即可函數f（x）在區間[1，2]上的最大值；（3）利用參數分離法將條件進行轉化，利用數形結合即可求b的取值范圍．