Question

【題目】（本小題滿分13分）

如圖5，已知點是圓心為半徑為1的半圓弧上從點數起的第一個三等分點，是直徑，，平面，點是的中點.

（1）求二面角的余弦值.

（2）求點到平面的距離.

Answer 1

【答案】（1）

（2）

【解析】

試題分析：想求二面角的余弦值，得需要建立適當的坐標系，根據題中所給的條件，可以得出從一個起點出發的三條互相垂直的直線，符合建立坐標系的條件，求出相應的面的法向量，從而得出二面角的余弦值，對于第二問，可以通過三棱錐的體積相等來處理，也可以通過某個向量在法向量上的投影的問題來解決.

試題解析：

解 ：（1）∵是圓心為半徑為1的半圓弧上

從點數起的第一個三等分點，∴∠AOC=60，

∴是等邊三角形，

∴. (1分)

∵C是圓周上的點，AB是直徑，∴，∴ (2分)

又平面，∴兩兩垂直. 以點為坐標原點，、、分別為、、軸的正向，建立空間直角坐標系，則，，，，，， （3分）

于是，，，. (4分)

設為平面的法向量，為平面的法向量，

，，取得. (5分)

，，

取得. (6分)

， （7分）

因此，二面角的余弦值是. (8分)

（2）方法一：由（1）知 （9分）

設為平面的法向量，則

，即，取得. (10分)

設向量和所成的角為，則(12分)

設點到平面的距離為，則. (13分)

方法二：由（1）知，

因為直線平面，所以，，，

于是，，

.

因為，點是的中點，所以. （9分）

因此，， (10分)

從而，， (11分)

. (12分)

因為，，設點到平面的距離為，則有，即，于是，. (13分)