Question

【題目】已知橢圓經過點，且離心率為．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）設是橢圓上的點，直線與（為坐標原點）的斜率之積為．若動點滿足，試探究是否存在兩個定點，使得為定值？若存在，求的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）; （Ⅱ）見解析.

【解析】試題分析：(Ⅰ)利用橢圓的離心率計算公式和點在橢圓上列方程組求解即可得出．
(Ⅱ)利用向量的坐標運算、點在橢圓上滿足橢圓的方程、斜率計算公式及其橢圓的定義即可得出．

試題解析：

(Ⅰ)∵ ∴

又∵橢圓經過點 ∴

解得：，

所以橢圓的方程為．

（Ⅱ）設，，，則由得

即，，

因為點在橢圓上，

所以，

故

設，分別為直線與的斜率，由題意知，

，因此

所以，

所以點是橢圓上的點，

所以由橢圓的定義知存在點，滿足為定值

又因為，

所以坐標分別為、．