Question

【題目】設f（x）、g（x）分別是定義在R上的奇函數和偶函數，當x＜0時，f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＞0，且g（﹣3）=0，則不等式f（x）g（x）＜0的解集是（ ）
A.（﹣3，0）∪（3，+∞）
B.（﹣3，0）∪（0，3）
C.（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）
D.（﹣∞，﹣3）∪（0，3）

Answer 1

【答案】D
【解析】解：設F（x）=f （x）g（x），當x＜0時，
∵F′（x）=f′（x）g（x）+f （x）g′（x）＞0．
∴F（x）在當x＜0時為增函數．
∵F（﹣x）=f （﹣x）g （﹣x）=﹣f （x）g （x）=﹣F（x）．
故F（x）為（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函數．
∴F（x）在（0，+∞）上亦為增函數．
已知g（﹣3）=0，必有F（﹣3）=F（3）=0．
構造如圖的F（x）的圖象，可知
F（x）＜0的解集為x∈（﹣∞，﹣3）∪（0，3）．
故選D

先根據f’（x）g（x）+f（x）g’（x）＞0可確定[f（x）g（x）]'＞0，進而可得到f（x）g（x）在x＜0時遞增，結合函數f（x）與g（x）的奇偶性可確定f（x）g（x）在x＞0時也是增函數，最后根據g（﹣3）=0可求得答案．