Question

【題目】已知橢圓 =1（a＞b＞0）的離心率為 ，過焦點垂直長軸的弦長為3．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）過橢圓的右頂點作直線交拋物線y2=2x于A、B兩點，求證：OA⊥OB．

Answer 1

【答案】
（1）解：橢圓 =1（a＞b＞0）的離心率為 ，過焦點垂直長軸的弦長為3，

則有 ，

解可得a=2，c=1，則b2=a2﹣c2=3．

所以，所求橢圓的標準方程為

（2）解：證明：設過橢圓的右頂點（2，0）的直線AB的方程為x=my+2．

代入拋物線方程y2=2x，得y2﹣2my﹣4=0．

設A（x1，y1）、B（x2，y2），

則 ，

∴x1x2+y1y2=（my1+2）（my2+2）+y1y2=（1+m2）y1y2+2m（y1+y2）+4=0．

∴OA⊥OB

【解析】（1）根據題意，分析可得 ，解可得a、c的值，由橢圓的定義可得b的值，將a、b的值代入橢圓方程即可得答案；（2）設過橢圓的右頂點（2，0）的直線AB的方程為x=my+2，與拋物線方程聯立，設出A、B點的坐標，由根與系數的關系的關系分析計算x1x2+y1y2的值，由向量數量積的性質可得證明．