Question

【題目】在直角坐標系中，橢圓的方程為，左右焦點分別為，，為短軸的一個端點，且的面積為.設過原點的直線與橢圓交于兩點，為橢圓上異于的一點，且直線，的斜率都存在，.

（1）求的值；

（2）設為橢圓上位于軸上方的一點，且軸，、為曲線上不同于的兩點，且，設直線與軸交于點，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1），；（2）

【解析】

（1）設點A（x1，y1）、P（x2，y2），則B（-x1，-y1），將點A、P的坐標代入橢圓C的方程，得出兩個等式，將兩等式相減，結合直線PA、PB的斜率之積，得出=，再利用△RF1F2的面積為，得出bc＝，聯立兩個方程，可求出a、b的值；
（2）設直線QM的斜率為k，結合已知條件得出直線QN的斜率為-k，將直線QM的方程與橢圓方程聯立，求出點M的橫坐標，利用-k代替k得出點N的橫坐標，然后利用斜率公式得出直線MN的斜率為，于是得出直線MN的方程為y＝x+d，將直線MN的方程與橢圓C的方程聯立，由△＞0并結合點Q在直線MN的上方可得出d的取值范圍．

（1）解：設，，則，

進一步得，，，

兩個等式相減得，，

所以，所以，

因為，所以，即，

設，，

因為，所以，

由的面積為得，，即，

即，，所以，；

（2）設直線的斜率為，

因為，所以，關于直線對稱，

所以直線的斜率為，

算得，，

所以直線的方程是，

設，

由消去得，，

所以，所以，

將上式中的換成得，，

所以 ，

所以直線的方程是，

代入橢圓方程得，，

所以，所以，

又因為在點下方，所以，所以.