Question

【題目】已知函數，，其中且，．

（1）若函數f(x)與g(x)有相同的極值點（極值點是指函數取極值時對應的自變量的值），求k的值；

（2）當m>0，k = 0時，求證：函數有兩個不同的零點；

（3）若，記函數，若，使，求k的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）0；（2）詳見解析；（3）或．

【解析】

（1）分別求得與的極值點，利用極值點相同構造方程，求得；（2）首先求得在上單調遞減，在上單調遞增；再通過零點存在定理，分別在兩段區間找到零點所在大致區間，根據單調性可知僅有這兩個不同零點；（3）根據已知關系，將問題變為：，又，則可分別在，，三個范圍內去求解最值，從而求解出的范圍.

（1）因為，所以

令，得

當時，，則單調遞減；

當時，，則單調遞增；

所以為的極值點

因為，，所以函數的極值點為

因為函數與有相同的極值點，所以

所以

（2）由題意，所以

因為，所以

令，得

當時，，則單調遞減；

當時，，則單調遞增；

所以為的極值點

因為，，又在上連續且單調

所以在上有唯一零點

取滿足且

則

因為且，所以

所以，又在上連續且單調

所以在上有唯一零點

綜上，函數有兩個不同的零點

（3）時，

由，使，則有

由于

①當時，，在上單調遞減

所以

即，得

②當時，，在上單調遞增

所以

即，得

③當時，

在上，，在上單調遞減；

在上，，在上單調遞增；

所以

即（*）

易知在上單調遞減

故，而，所以不等式（*）無解

綜上，實數的取值范圍為或