Question

【題目】已知：橢圓的焦點在軸上，左焦點與短軸兩頂點圍成面積為的等腰直角三角形，直線與橢圓交于不同兩點、（、都在軸上方），且.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）當為橢圓與軸正半軸的交點時，求直線的方程；

（3）對于動直線，是否存在一個定點，無論如何變化，直線總經過此定點？若存在，求出該定點的坐標；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）存在定點，理由見解析.

【解析】

（1）設橢圓的標準方程為，焦距為，根據題意得出，可求出、、的值，由此可得出橢圓的標準方程；

（2）求出點、的坐標，得出直線的斜率，結合可求出直線的斜率，進而得出直線的方程，并將直線的方程代入橢圓的方程，求出點的坐標，由此可計算出直線的方程；

（3）由對稱性知，定點在軸上，并設點的坐標為，設直線的方程為，設點、，將直線的方程與橢圓的方程聯立，列出韋達定理，由直線、的斜率互為相反數，結合韋達定理求出的值，即可得出定點的坐標.

（1）設橢圓的標準方程為，焦距為，

由于左焦點與短軸兩頂點圍成面積為的等腰直角三角形，則為短軸長的一半，

則，且有，得，，

因此，橢圓的標準方程為；

（2）由題意、，則直線的斜率為.

，直線的斜率為，

則直線的方程為.

代入橢圓的標準方程，得，解得或.

代入，得（舍）或，.

則直線的斜率為，

因此，直線的方程為，即；

（3）由對稱性知，定點在軸上，并設點的坐標為，

設直線的方程為，設點、，

將直線的方程與橢圓的方程聯立，得.

由韋達定理得，.

直線的斜率為，同理直線的斜率為，

，，

即，即，

解得，因此，直線過定點.