Question

【題目】如圖，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知M，N分別為線段BB1，A1C的中點，MN⊥AA1，且MA1＝MC.求證：

（1）MN平面ABC；

（2）平面A1MC⊥平面A1ACC1.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析

【解析】

（1）取AC中點P，連結NP，BP，推導出四邊形PNMB是平行四邊形，從而MN∥BP，由此能證明MN∥平面ABC；

（2）推導出MN⊥A1C，MN⊥AA1，從而MN⊥平面A1ACC1，由此能證明平面A1MC⊥平面A1ACC1.

（1）取AC中點P，連結NP，BP，∵N是A1C中點，P為AC中點，

∴PN∥AA1，且BB1＝AA1，又M為BB1中點，∴BM∥AA1，且BM＝AA1，

∴PN∥BM，且PN＝BM，∴四邊形PNMB是平行四邊形，∴MN∥BP，

∵MN平面ABC，BP平面ABC，∴MN∥平面ABC.

（2）∵MA1＝MC，且N是A1C的中點，∴MN⊥A1C，

又MN⊥AA1，AA1∩A1C＝A1，

A1C，AA1平面A1ACC1，∴MN⊥平面A1ACC1，

∵MN平面A1MC，∴平面A1MC⊥平面A1ACC1.