Question

【題目】已知數(shù)列{an}的各項均為非零實數(shù)，且對于任意的正整數(shù)n，都有（a1+a2+a3+…+an）2=a13+a23+a33+…+an3 ．
（1）寫出數(shù)列{an}的前三項a1 ， a2 ， a3（請寫出所有可能的結(jié)果）；
（2）是否存在滿足條件的無窮數(shù)列{an}，使得a2017=﹣2016？若存在，求出這樣的無窮數(shù)列的一個通項公式；若不存在，說明理由；
（3）記an點(diǎn)所有取值構(gòu)成的集合為An ， 求集合An中所有元素之和（結(jié)論不要證明）．

Answer 1

【答案】
（1）解：當(dāng)n=1時，a13=a12，由a1≠0得a1=1．

當(dāng)n=2時，1+a23=（1+a2）2，由a2≠0得a2=2或a2=﹣1．

當(dāng)n=3時，1+a23+a33=（1+a2+a3）2，若a2=2得a3=3或a3=﹣2；若a2=﹣1得a3=1；

綜上討論，滿足條件的數(shù)列有三個：1，2，3或1，2，﹣2或1，﹣1，1

（2）解：令Sn=a1+a2+…+an，則Sn2=a13+a23+…+an3（n∈N*）．

從而（Sn+an+1）2=a13+a23+…+an3+an+13，

兩式相減，結(jié)合an+1≠0，得2Sn=an+12﹣an+1．

當(dāng)n=1時，由（1）知a1=1；

當(dāng)n≥2時，2an=2（Sn﹣Sn﹣1）=（an+12﹣an+1）﹣（an2﹣an），即（an+1+an）（an+1﹣an﹣1）=0，

所以an+1=﹣an或an+1=an+1．

又a1=1，a2017=﹣2016，所以無窮數(shù)列{an}的前2016項組成首項和公差均為1的等差數(shù)列，從第2016項開始組成首項為﹣2016，公比為﹣1的等比數(shù)列．

an=

（3）解：由（2）可知a1=1，an=﹣an﹣1或an=an﹣1+1（n≥2），

故A1={1}，A2={﹣1，2}，A3={1，﹣2，3}，A4={﹣1，2，﹣3，4}，…

∴當(dāng)n為奇數(shù)時，An的所有元素之和為1+3+5+…+n﹣（2+4+6+…n﹣1）= ﹣ = ，

當(dāng)n為偶數(shù)時，An的所有元素之和為2+4+6+…+n﹣（1+3+5+…+n﹣1）= ﹣ =

【解析】（1）利用數(shù)列遞推式，n分別取1，2，3，代入計算，即可得到結(jié)論；（2）令Sn=a1+a2+…+an，Sn2=a13+a23+…+an3（n∈N*）．可得再寫一式，兩式相減，可得數(shù)列{an}的任一項an與它的前一項an﹣1間的遞推關(guān)系；利用a1=1，a2017=﹣2016，所以無窮數(shù)列{an}的前2016項組成首項和公差均為1的等差數(shù)列，從第2016項開始組成首項為﹣2016，公比為﹣1的等比數(shù)列，從而可得數(shù)列的通項．（3）根據(jù)遞推式得出An的所有元素規(guī)律，利用歸納法得出結(jié)論．