Question

【題目】如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為菱形，PC⊥平面ABCD，點E在棱PA上．
（Ⅰ）求證：直線BD⊥平面PAC；
（Ⅱ）若PC∥平面BDE，求證：AE=EP；
（Ⅲ）是否存在點E，使得四面體A﹣BDE的體積等于四面體P﹣BDC的體積的 ？若存在，求出 的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】證明：（Ⅰ）因為PC⊥平面ABCD，所以PC⊥BD，

因為底面ABCD是菱形，所以BD⊥AC，

因為PC∩AC=C，所以BD⊥平面PAC．

（Ⅱ）設AC與BD交點為O，連接OE，

因為平面PAC∩平面BDE=OE，PC∥平面BDE，

所以PC∥OE，

又由ABCD是菱形可知O為AC中點，

所以，在△PAC中， ，

所以AE=EP．

（Ⅲ）在△PAC中過點E作EF∥PC，交AC于點F，

因為PC⊥平面ABCD，所以EF⊥平面ABCD．

由ABCD是菱形可知S△ABD=S△BDC，

假設存在點E滿足 ，即 ，則 ，

所以在△PAC中， ，

所以 ．

【解析】（Ⅰ）推導出PC⊥BD，BD⊥AC，由此能證明BD⊥平面PAC．（Ⅱ）設AC與BD交點為O，連接OE，推導出PC∥OE，由ABCD是菱形可知O為AC中點，利用 ，能證明AE=EP．（Ⅲ）在△PAC中過點E作EF∥PC，交AC于點F，由ABCD是菱形可知S△ABD=S△BDC，由此利用 ，能求出結果．
【考點精析】掌握直線與平面垂直的判定是解答本題的根本，需要知道一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉化的數學思想．