Question

【題目】已知函數f（x）=（ ）x ， 函數g（x）=log x．
（1）若g（ax2+2x+1）的定義域為R，求實數a的取值范圍；
（2）當x∈[（ ）t+1 ， （ ）t]時，求函數y=[g（x）]2﹣2g（x）+2的最小值h（t）；
（3）是否存在非負實數m，n，使得函數y=log f（x2）的定義域為[m，n]，值域為[2m，2n]，若存在，求出m，n的值；若不存在，則說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解： 定義域為R；

所以ax2+2x+1＞0對一切x∈R成立；

當a=0時，2x+1＞0不可能對一切x∈R成立；

所以 即： ；

綜上 a＞1．

（2） ；

令 ；

所以y=u2﹣2u+2=（u﹣1）2+1，u∈[t，t+1]；

當t≥1時， ；

當0＜t＜1時，ymin=1；

當t≤0時， ；

所以 ；

（3）y=x2在[0，+∞）上是增函數；

若存在非負實數m、n滿足題意，則 ；

即m、n是方程x2=2x的兩非負實根，且m＜n；

所以m=0，n=2；

即存在m=0，n=2滿足題意．

【解析】（1）要求g（ax2+2x+1）的定義域，只需ax2+2x+1＞0對一切x∈R成立，列出不等式求解即可，（2）構造函數，令u = ∈ [ t ， t + 1 ],進行換元可得y=u2﹣2u+2=（u﹣1）2+1，u∈[t，t+1]；對t進行分類討論得出最小值即可，（3）根據函數的單調性，可列出方程組，即m、n是方程x2=2x的兩非負實根，且m＜n，所以m=0，n=2.
【考點精析】本題主要考查了利用導數研究函數的單調性的相關知識點，需要掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減才能正確解答此題．