Question

已知函數(shù)，（其中）．
（Ⅰ）求函數(shù)的極值；
（Ⅱ）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有兩個零點，求正實數(shù)a的取值范圍；（Ⅲ）求證：當時，．（說明：e是自然對數(shù)的底數(shù)，e=2.71828…）

Answer 1

（Ⅰ）極小值為，無極大值（Ⅱ）（Ⅲ）問題等價于．由（Ⅰ）知的最小值為．設，得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．∴，
∵=，∴，∴，故當時，

解析試題分析：（Ⅰ），
∴（，），
由，得，由，得，
故函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以函數(shù)的極小值為，無極大值．  4分
（Ⅱ）函數(shù)，
則，
令，∵，解得，或（舍去），
當時，，在上單調(diào)遞減；
當時，，在上單調(diào)遞增．
函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有兩個零點，
只需即∴
故實數(shù)a的取值范圍是．   9分
（Ⅲ）問題等價于．由（Ⅰ）知的最小值為．
設，得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．
∴，
∵=，
∴，∴，故當時，．  14分
考點：函數(shù)極值最值
點評：求函數(shù)極值最值都需要首先找到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，第二問將函數(shù)存在零點轉(zhuǎn)化為最值邊界值的范圍，第三問將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問題，這兩種轉(zhuǎn)化是函數(shù)綜合題中經(jīng)常考到的