Question

已知函數f (x)＝x³＋(1－a)x²－3ax＋1，a＞0．
(Ⅰ) 證明：對于正數a，存在正數p，使得當x∈[0，p]時，有－1≤f (x)≤1；
(Ⅱ) 設(Ⅰ)中的p的最大值為g(a)，求g(a)的最大值．

Answer 1

(Ⅰ)先利用導數求出單調區間，再分情況證明；
(Ⅱ)

解析試題分析：
(Ⅰ) 由于f ′(x)＝3x²＋3(1－a)x－3a＝3(x＋1)(x－a)，且a＞0，
故f (x)在[0，a]上單調遞減，在[a，＋∞)上單調遞增．
又f (0)＝1，f (a)＝－a³－a²＋1＝(1－a)(a＋2) ²－1．
當f (a)≥－1時，取p＝a．
此時，當x∈[0，p]時有－1≤f (x)≤1成立．
當f (a)＜－1時，由于f (0)＋1＝2＞0，f (a)＋1＜0，
故存在p∈(0，a)使得f (p)＋1＝0．
此時，當x∈[0，p]時有－1≤f (x)≤1成立．
綜上，對于正數a，存在正數p，使得當x∈[0，p]時，有－1≤f (x)≤1．             7分
(Ⅱ) 由(Ⅰ)知f (x)在[0，＋∞)上的最小值為f (a)．
當0＜a≤1時，f (a)≥－1，則g(a)是方程f (p)＝1滿足p＞a的實根，
即2p²+3(1－a)p－6a＝0滿足p＞a的實根，所以
g(a)＝．
又g(a)在(0，1]上單調遞增，故g(a)_max＝g(1)＝．
當a＞1時，f (a)＜－1．
由于f (0)＝1，f (1)＝(1－a)－1＜－1，故[0，p]Ì [0，1]．
此時，g(a)≤1．
綜上所述，g(a)的最大值為．                                               15分
考點：本題主要考查利用導數研究函數的性質等基礎知識，同時考查推理論證能力，分類討論等綜合解題能力和創新意識。
點評：研究函數的性質往往離不開導數，導數是研究函數性質的有力工具，要靈活運用；另外，函數如果含參數，一般離不開分類討論，分類討論時要做到不重不漏.