Question

【題目】設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，，且，，成等差數(shù)列，數(shù)列滿足．

（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè),數(shù)列的前項(xiàng)和為,若對(duì)任意，不等式 恒成立，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）由，，成等差數(shù)列,結(jié)合求出，從而可得公比的值，進(jìn)而可求出等比數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2由（1）可得 ，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，利用錯(cuò)位相減法即可求出，又，原不等式化為恒成立，利用數(shù)列的增減性可得，從而可得結(jié)果.

（1）設(shè)數(shù)列的公比為，

∵，，成等差數(shù)列，∴，∴，

∵，∴，∴，

∴．

（2）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，則，

又，

∴，

，

兩式相減得

，

∴，

又，

對(duì)任意，不等式恒成立，

等價(jià)于恒成立，即恒成立，

即恒成立，

令，，

∴關(guān)于單調(diào)遞減，∴關(guān)于單調(diào)遞增，∴，∴，

所以的取值范圍為．