Question

【題目】已知圓M過C(1,-1),D(-1,1)兩點，且圓心M在x+y-2=0上．

（1）求圓M的方程；

（2）設點P是直線3x+4y+8=0上的動點，PA,PB是圓M的兩條切線，A,B為切點，求四邊形PAMB面積的最小值．

Answer 1

【答案】（1）（x﹣1）2+（y﹣1）2=4．（2）2．

【解析】

試題分析：（1）設出圓的標準方程，利用圓M過兩點C（1，-1）、D（-1，1）且圓心M在直線x+y-2=0上，建立方程組，即可求圓M的方程；
（2）四邊形PAMB的面積為S＝2，因此要求S的最小值，只需求|PM|的最小值即可，即在直線3x+4y+8=0上找一點P，使得|PM|的值最小，利用點到直線的距離公式，即可求得結論．

試題解析：

(1) 設圓M的方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，

根據題意得

解得a＝b＝1，r＝2.

故所求圓M的方程為(x－1)2＋(y－1)2＝4.

(2) 由題知，四邊形PA′MB′的面積為S＝S△PA′M＋S△PB′M＝|A′M||PA′|＋|B′M||PB′|.

又|A′M|＝|B′M|＝2，|PA′|＝|PB′|，

所以S＝2|PA′|.

而|PA′|＝.

即S＝2.

因此要求S的最小值，只需求|PM|的最小值即可，即在直線3x＋4y＋8＝0上找一點P，使得|PM|的值最小，

所以|PM|min＝，

所以四邊形PA′MB′面積的最小值為S＝2＝2＝2.