Question

【題目】如圖，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BC= ，AB=AC=AA1=1，D是棱CC1上的一點，P是AD的延長線與A1C1的延長線的交點，且PB1∥平面BDA1 ．

（1）求證：CD=C1D；
（2）求二面角A1﹣B1D﹣P的平面角的正弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接B1A交BA1于O，

∵PB1∥平面BDA1，B1P面AB1P，面AB1P∩面BA1D=OD，

∴B1P∥OD，又O為B1A的中點，

∴D為AP中點，∴C1為A1P中點，

∴△ACD≌△PC1D，∴CD=C1D．

（2）解：∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中， ，

∴AB⊥AC，

以A1為坐標原點，以A1B1，A1C1A1A所在直線建立空間直角坐標系如圖所示．

由（1）知C1為A1P中點，

∴A1（0，0，0），B1（1，0，0）， ，P（0，2，0），

∴ ， =（0，1， ），

設平面A1B1D的法向量

∵ 且 ，

∴ ，取z=2，得y=﹣1，∴

， ，

設平面PB1D的法向量 ，

則 ， ，

∴ ，取x=2，得y=1，2，

∴平面PB1D的法向量

設二面角A1﹣B1D﹣P平面角為θ，

則 ，

∴

【解析】（1）連接B1A交BA1于O，由已知條件推導出△ACD≌△PC1D，由此能夠證明CD=C1D；（2）以A1為坐標原點，以A1B1 ， A1C1A1A所在直線建立空間直角坐標系，利用向量法能夠求出二面角A1﹣B1D﹣P的正弦值．