Question

已知橢圓的離心率，A，B分別為橢圓的長軸和短軸的端點，M為AB的中點，O為坐標原點，且.
(1)求橢圓的方程;
(2)過(-1,0)的直線交橢圓于P,Q兩點,求△POQ面積最大時直線的方程.

Answer 1

解：（Ⅰ）橢圓的方程為.
（Ⅱ）當直線的方程為時，面積最大.

本題考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查三角形面積的計算，正確表示三角形的面積是關鍵。
（Ⅰ）根據離心率為e和向量的坐標，建立方程組，求得橢圓的基本量，從而可得橢圓的方程；
（Ⅱ）方法一：設交點P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），分類討論，將直線方程與橢圓方程聯立，消去y，表示出△POQ的面積，利用基本不等式求得結論．方法二：設交點P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），分類討論，將直線方程與橢圓方程聯立，消去x，表示出△POQ的面積，利用基本不等式求得結論．