Question

【題目】如圖，已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面ABC是等邊三角形，且AA1⊥底面ABC，M為AA1的中點，N在線段AB上，且AN=2NB，點P在CC1上．
（1）證明：平面BMC1⊥平面BCC1B1；
（2）當 為何值時，有PN∥平面BMC1？

Answer 1

【答案】
（1）解：連接B1C，與BC1交于O，連接MO，則MO⊥BC1，

取BC中點Q，連接AQ，OQ，則AQ∥MO，

∵CC1⊥AQ，∴CC1⊥MO，

∵BC1∩CC1=C1，∴MO⊥平面BCC1B1，

∵MO平面BMC1，

∴平面BMC1⊥平面BCC1B1；

（2）解：取AE=2EM，則NE∥BM，

∵NE平面BMC1，BM平面BMC1，

∴NE∥平面BMC1，

= 時，EM∥PC1，四邊形EMPC1是平行四邊形，∴MC1∥EP，∴EP∥平面BMC1，

∵NE∩EP=E，∴平面NEP∥∥平面BMC1，

∴PN∥平面BMC1．

【解析】（1）連接B1C，與BC1交于O，連接MO，則MO⊥BC1 ， 取BC中點Q，連接AQ，OQ，則AQ∥MO，證明：MO⊥平面BCC1B1 ， 即可證明平面BMC1⊥平面BCC1B1；（2）取AE=2EM，則NE∥BM， = 時，EM∥PC1 ， 四邊形EMPC1是平行四邊形，即可得出結論．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解直線與平面平行的判定的相關知識，掌握平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行，以及對平面與平面垂直的判定的理解，了解一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直．