Question

【題目】已知函數(shù) ．
（1）當a=1時，判斷f（x）的單調(diào)性；
（2）若f（x）在[0，+∞）上為單調(diào)增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：當a=1時，f'（x）= ，f（x）在定義域 （﹣1，+∞）

∴f'（x）在（﹣1，0）上為減函數(shù)，在 （0，+∞）上為增函數(shù)，

∴函數(shù)的減區(qū)間為（﹣1，0），增區(qū)間為（0，+∞）

（2）解：①當a≥1時，由于x∈[0，+∞），

∴ ，

所以滿足f（x）在[0，+∞）上為單調(diào)增函數(shù)，即a≥1；

②當0＜a＜1時，f'（x）=aln（x+1）+ +ax﹣2，

f'（x）= ，由方程ax2+3ax+2a﹣2=0的判別式：

△=a2+8a＞0，所以方程有兩根x1，x2，且由 ，

∴x1＜0＜x2，

∴f'（x）在[0，x2]上為減函數(shù)，由f'（0）=0可知，在x∈[0，x2]時，f'（x）＜0，

這與 f（x）在[0，+∞）上為單調(diào)增函數(shù)相矛盾．

③當a≤0時，∵ ，

∴f″（x）= ＜0，

∴f'（x）在[0，+∞）上為減函數(shù)，由f'（0）=0可知，

在x∈（0，+∞）時，f'（x）＜0，

這與 f（x）在[0，+∞）上為單調(diào)增函數(shù)也是相矛盾，

綜上所述：實數(shù)a的取值范圍是[0，+∞）

【解析】（1）求出函數(shù)的導數(shù)，解關(guān)于導函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；（2）通過討論a的范圍，求出函數(shù)的導數(shù)，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而確定a的范圍即可．
【考點精析】認真審題，首先需要了解利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性(一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導數(shù)的正負有如下關(guān)系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減)，還要掌握函數(shù)的極值與導數(shù)(求函數(shù)的極值的方法是:（1）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值（2）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值)的相關(guān)知識才是答題的關(guān)鍵．