Question

【題目】如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1中，M、N、E、F分別是棱A1B1、A1D1、B1C1、C1D1的中點．

（1）求MN與AC所成角，并說明理由．

（2）求證：平面AMN∥平面EFDB．

Answer 1

【答案】（1）MN與AC的夾角為90°（2）見證明

【解析】

(1) 連接B1D1易得MN∥D1B1，又D1B1∥DB，從而有MN∥DB，故MN與AC的夾角即為DB與AC的夾角；

(2) 證明AM∥平面EFDB，MN∥平面EFDB，即可證明平面AMN∥平面EFDB．

（1）連接B1D1

∵M、N分別是A1B1，A1D1的中點

∴MN∥D1B1

又∵DD1∥BB1且DD1=BB1

∴DBB1D1為平行四邊形

∴D1B1∥DB

∴MN∥DB

∴MN與AC的夾角即為DB與AC的夾角

又∵ABCD為正方形

∴MN與AC的夾角為90°

（2）證明：

由（1）得 MN∥DB

MN平面BDEF

BD平面BDEF

∴MN∥平面BDEF

∵在正方形A1B1C1D1中，M，F分別是棱A1B1，D1C1的中點

∴MF∥A1D1且MF=A1D1

又∵A1D1∥AD 且A1D1=AD

∴MF∥AD且 MF=AD

∴四邊形ABEN是平行四邊形

∴AM∥DF

又∵AM平面AMN，DF 平面BDEF

∴AM∥平面BDEF

∵AM 平面AMN,MN平面AMN，且AN MN=N

∴平面AMN∥平面DBEF