Question

【題目】已知函數f（x）=ax﹣ x2﹣aln（x+1）（a＞0），g（x）=ex﹣x﹣1，曲線y=f（x）與y=g（x）在原點處的公共的切線．
（1）若x=0為函數f（x）的極大值點，求f（x）的單調區間（用a表示）；
（2）若x≥0，g（x）≥f（x）+ x2 ， 求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意得：f（x）的定義域是（﹣1，+∞），

且f′（x）=a﹣x﹣ ，g′（x）=ex﹣1，

∵曲線y=f（x）與y=g（x）在原點處的公共的切線，

∴f′（0）=g′（0），

解得：a=b，

∴f（x）=ax﹣ x2﹣aln（x+1）；

f′（x）= ，

a=1時，f′（x）≤0，函數在定義域遞減，不合題意；

a≠1時，∵x=0為函數f（x）的極大值點，

故由y=﹣x2+（a﹣1）x的圖象可知a﹣1＜0，

由f′（x）＜0，得：x∈（﹣1，a﹣1）∪（0，+∞），

由f′（x）＞0，得：x∈（a﹣1，0），

∴f（x）在（a﹣1，0）遞增，在（﹣1，a﹣1），（0，+∞）遞減

（2）解：∵g′（x）=ex﹣1，且﹣1＜x＜0時，g′（x）＜0，x＞0時，g′（x）＞0，

故x=0時，g（x）取得最小值0，∴g′（x）≥0，即ex≥x+1，從而x≥ln（x+1），

設F（x）=g（x）﹣f（x）﹣ x2=ex+aln（x+1）﹣（a+1）x﹣1，

F′（x）=ex+ ﹣（a+1），

①a=1時，∵x≥0，∴F′（x）≥x+1+ ﹣（a+1）=x+1+ ﹣2≥0，

∴F（x）在[0，+∞）遞增，從而F（x）≥F（0）=0，

即ex+ln（x+1）=2x﹣1＞0，

∴g（x）≥f（x）+ x2，

②0＜a＜1時，由①得：ex+ln（x+1）﹣2x﹣1＞0，

∴g（x）=ex﹣x﹣1≥x﹣ln（x+1）≥a（x﹣ln（x+1）），

故F（x）≥0即g（x）≥f（x）+ x2，

③a＞1時，令h（x）=ex+ ﹣（a+1），

則h′（x）=ex﹣ ，

顯然h′（x）在[0，+∞）遞增，又h′（0）=1﹣a＜0，h′（ ﹣1）= ﹣1＞0，

∴h′（x）在（0， ﹣1）上存在唯一零點x0，

當x∈（0，x0）時，h′（x）＜0，h（x）在[0，x0）遞減，

x∈（0，x0）時，F（x）＜F（0）=0，

即g（x）＜f（x）+ x2，不合題意，

綜上，a∈（0，1]．

【解析】（1）求出函數的導數，根據f′（0）=g′（0），求出a=b，求出f（x）的導數，通過討論a的范圍，確定函數的單調區間即可；（2）設F（x）=g（x）﹣f（x）﹣ x2 ， 通過討論a的范圍結合函數的單調性確定a的具體范圍即可．
【考點精析】通過靈活運用利用導數研究函數的單調性和函數的極值與導數，掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減；求函數的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值即可以解答此題．