Question

【題目】已知函數f（x）=4x﹣a2x+1+a+1，a∈R．
（1）當a=1時，解方程f（x）﹣1=0；
（2）當0＜x＜1時，f（x）＜0恒成立，求a的取值范圍；
（3）若函數f（x）有零點，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：a=1時，f（x）=4x﹣22x+2，

f（x）﹣1=（2x）2﹣2（2x）+1=（2x﹣1）2=0，

∴2x=1，解得：x=0

（2）解：4x﹣a（2x+1﹣1）+1＞0在（0，1）恒成立，

a（22x﹣1）＜4x+1，

∵2x+1＞1，

∴a＞ ，

令2x=t∈（1，2），g（t）= ，

則g′（t）= = =0，

t=t0，∴g（t）在（1，t0）遞減，在（t0，2）遞增，

而g（1）=2，g（2）= ，

∴a≥2

（3）解：若函數f（x）有零點，

則a= 有交點，

由（2）令g（t）=0，解得：t= ，

故a≥

【解析】（1）將a=的值代入，將2x看作一個整體，解出2x的值，從而求出x的值即可；（2）問題轉化為a＞ ，令2x=t∈（1，2），g（t）= ，根據函數的單調性求出g（t）的最大值，從而求出a的范圍即可；（3）問題轉化為a= 有交點，根據（2）求出a的范圍即可．
【考點精析】關于本題考查的利用導數研究函數的單調性和函數的最大(小)值與導數，需要了解一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減；求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值才能得出正確答案．