Question

【題目】已知向量，，函數滿足，且在區間上單調，又不等式對一切恒成立.

（1）求函數的解析式；

（2）若函數在區間的零點為，求的值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

(1)根據利用向量數量積公式與正弦的和角公式化簡,再根據題意可得的對稱軸與對稱中心等.同時利用在區間上單調求出關于周期的不等式,繼而求得解析式.

(2)將題意轉換為函數的圖象與的圖象在區間上有100個交點.再利用函數的對稱點分析求解即可.

（1）

因為,所以是函數的一個對稱中心,

由,得為函數的一條對稱軸,

所以,即

所以.

又因為函數在區間上單調,所以,

即,又,所以.

又因為所以又所以.

所以.

（2）由題意,方程在區間上有100個實根,

即函數的圖象與的圖象在區間上有100個交點.

由得,

所以為函數的圖象的一個對稱中心.

易知也是函數的圖象的對稱中心,

所以與的圖象交點成對出現,且每一對均關于點對稱,

所以. ,

所以=.