Question

【題目】設(shè)，函數(shù)，其導(dǎo)數(shù)為

（1）當(dāng)時，求的單調(diào)區(qū)間；

（2）函數(shù)是否存在零點？說明理由；

（3）設(shè)在處取得最小值，求的最大值

Answer 1

【答案】（1）在的單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；（2）故時，存在唯一零點；（3）．

【解析】

試題（1）求單調(diào)區(qū)間，只要求得導(dǎo)數(shù)，解不等式確定增區(qū)間，確定減區(qū)間；（2），令，通過它的導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性，然后確定函數(shù)值，，從而說明有唯一零點（也可直接用零點存在定理確定，不必要研究單調(diào)性）；（3）首先確定，由（2）的唯一零點就是的最小值點，由可把用表示出來，接著計算，把用的代數(shù)式替換后得到一個的函數(shù)，然后再利用導(dǎo)數(shù)的知識求得最值．

試題解析：（1）當(dāng)時，，由于，且時，；時，，所以在的單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增

（2），令，所以

因為，所以，所以在單調(diào)遞增

因為，又

所以當(dāng)時，，此時必有零點，且唯一；

當(dāng)時，，而

故時，存在唯一零點

（3）由（2）可知存在唯一零點，設(shè)零點為

當(dāng)時，；當(dāng)時，，

故在的單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增

所以當(dāng)時，取得最小值，由條件可得，的最小值為

由于，所以

所以

設(shè)

則

令，得；令，得

故在的單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，所以

故的最大值是