Question

【題目】如圖，PA⊥平面AC，四邊形ABCD是矩形，E、F分別是AB、PD的中點．
（Ⅰ）求證：AF∥平面PCE；
（Ⅱ）若二面角P﹣CD﹣B為45°，AD=2，CD=3，求點F到平面PCE的距離．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）取PC中點M，連接ME、MF．

∵

∴AE∥FM，且AE=FM，

即四邊形AFME是平行四邊形，

∴AF∥EM，∵AF平在PCE，

∴AF∥平面PCE．

（Ⅱ）∵PA⊥平面AC，CD⊥AD，

根據三垂線定理知，CD⊥PD，

∴∠PDA是二面角，

P﹣CD﹣B的平面角，則∠PDA=45°

于是，△PAD是等腰直角三角形，

∴AF⊥PD，又AF⊥CD，

∴AF⊥面PCD．而EM∥AF，

∴EM⊥面PCD．又EM平面PEC，

∴面PEC⊥面PCD．

在面PCD內過F作FH⊥PC于H，

則FH為點F到平面PCE的距離．

由已知，PD=2 ，PF= ．

∵△PFH∽△PCD，

∴

【解析】（Ⅰ）取PC中點M，連接ME、MF．由 ，知AE∥FM，且AE=FM，由此能證明四邊形AFME是平行四邊形，從而得到AF∥平面PCE．（Ⅱ）由PA⊥平面AC，CD⊥AD，根據三垂線定理知，CD⊥PD，故∠PDA是二面角P﹣CD﹣B的平面角，所以△PAD是等腰直角三角形，由AF⊥PD，AF⊥CD，得到面PEC⊥面PCD，由此入手能夠求出點F到平面PCE的距離．
【考點精析】認真審題，首先需要了解直線與平面平行的判定(平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行)．