Question

【題目】設函數f（x）=sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜ ）的最小正周期為π，且f（﹣x）=f（x），則（ ）
A.f（x）在（0， ）單調遞增
B.f（x）在（ ， ）單調遞減
C.f（x）在（ ， ）單調遞增
D.f（x）在（ ，π）單調遞增

Answer 1

【答案】D
【解析】解：f（x）=sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ）= [ sin（ωx+φ）+ cos（ωx+φ）]= sin（ωx+φ+ ），

∵函數的最小正周期為2π，

∴T= =π，解得ω=2，

即f（x）= sin（2x+φ+ ），

∵f（﹣x）=f（x），

∴函數f（x）為偶函數，則φ+ = +kπ，

即φ= +kπ，

∵|φ|＜ ，∴當k=0時，φ= ，

即f（x）= sin（2x+ + ）= sin（2x+ ）= cos2x，

由2kπ﹣π≤2x≤2kπ，k∈Z，

即kπ﹣ ≤x≤kπ，k∈Z，

故函數的遞增區間為[kπ﹣ ，kπ]，k∈Z，

由2kπ≤2x≤2kπ+π，k∈Z，

即kπ≤x≤kπ+ ，k∈Z，

故函數的遞減區間為[kπ，kπ+ ]，k∈Z，

則當k=1時，函數遞增區間為[ ，π]，

則f（x）在（ ，π），

故選：D

【考點精析】利用兩角和與差的正弦公式對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知兩角和與差的正弦公式：．