Question

【題目】已知函數f（x）=4x﹣2x ， 實數s，t滿足f（s）+f（t）=0，a=2s+2t ， b=2s+t ．
（1）當函數f（x）的定義域為[﹣1，1]時，求f（x）的值域；
（2）求函數關系式b=g（a），并求函數g（a）的定義域D；
（3）在（2）的結論中，對任意x1∈D，都存在x2∈[﹣1，1]，使得g（x1）=f（x2）+m成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵函數f（x）=4x﹣2x，f（x）的定義域為[﹣1，1]時，

∴t=2x∈[ ，2]，g（t）=t2﹣t單調遞增，

∵g（ ）=﹣ ，g（2）=2，

∴f（x）的值域為：[﹣ ，2]．

（2）解：∵f（s）+f（t）=0，

∴4s﹣2s+4t﹣2t=0，

化簡得出：（2s+2t）2﹣22s+t﹣（2s+2t）=0，

∵a=2s+2t，b=2s+t．2s+2t≥2 ．a≥2

∴a2﹣2b﹣a=0，a≥2 ，a≥2 ，a＞0

即b= ，1＜a≤2，D=（1，2]；

（3）解：g（x）= （x2﹣x）∈（0，1]，f（x）∈[﹣ ，2]．

∵對任意x1∈D，都存在x2∈[﹣1，1]，使得g（x1）=f（x2）+m成立，

∴（0，1][﹣ +m，2+m]．

∴﹣1≤m≤ ．

【解析】（1）換元根據t=2x∈[ ，2]，g（t）=t2﹣t單調遞增，即可求f（x）的值域；（2）配方得出：（2s+2t）2﹣22s+t﹣（2s+2t）=0，a2﹣2b﹣a=0，a≥2 ，a≥2 ，a＞0，求解即可得出b= ，1＜a≤2；（3）g（x）= （x2﹣x）∈（0，1]，f（x）∈[﹣ ，2]，對任意x1∈D，都存在x2∈[﹣1，1]，使得g（x1）=f（x2）+m成立，即可求實數m的取值范圍．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解函數的最值及其幾何意義的相關知識，掌握利用二次函數的性質（配方法）求函數的最大（小）值；利用圖象求函數的最大（小）值；利用函數單調性的判斷函數的最大（小）值，以及對二次函數的性質的理解，了解當時，拋物線開口向上，函數在上遞減，在上遞增；當時，拋物線開口向下，函數在上遞增，在上遞減．