Question

【題目】已知函數f（x）=|sinx|（x∈[﹣π，π]），g（x）=x﹣2sinx（x∈[﹣π，π]），設方程f（f（x））=0，f（g（x））=0，g（g（x））=0的實根的個數分別為m，n，t，則m+n+t=（ ）
A.9
B.13
C.17
D.21

Answer 1

【答案】B
【解析】解：（i）令f（x）=|sinx|=0得x=kπ，k∈{﹣1，0，1}， 又f（x）=|sinx|的值域為[0，1]，f（f（x））=0，
∴f（x）=0，∴x=kπ，k∈{﹣1，0，1}．
∴f（f（x））=0有3個根，即m=3．
（ii）∵f（g（x））=0，
∴g（x）=kπ，k∈{﹣1，0，1}，
①若g（x）=0，則 x=sinx，作出y= x和y=sinx的函數圖象如圖所示：

由圖象可知g（x）=0在[﹣π，π]上有3個解，
②若g（x）=π，則 x=sinx+ ，作出y= x和y=sinx+ 的函數圖象如圖所示：

由圖象可知g（x）=0在[﹣π，π]上只有1個解，
③同理可得：當g（x）=﹣π在[﹣π，π]上只有1個解，
∴f（g（x））=0的根的個數為5，即n=5．
（iii）由（ii）中的第①種情況可知g（x）=0有3解，不妨設為x1 ， x2 ， x3 ， 且x1＜x2＜x3 ，
則x1+x3=0，x2=0，且 ＜x3＜π，
∵g（g（x））=0，∴g（x）=xi ， i=1，2，3．
①若g（x）=x2=0，則g（x）=0有3解，
②若g（x）=x3 ， 則 =sinx+ ，
設y=sinx+b（b＞0）與直線y= x相切，切點為（x0 ， y0），則 ，
解得b= ﹣ ，∵ ＞ ＞b，
∴g（x）=x3只有1解，
③同理可得：g（x）=x1只有1解；
∴g（g（x））=0共有5個解，即t=5．
∴m+n+t=13．
故選B．