Question

【題目】已知函數f（x）=alnx﹣ax﹣3（a∈R）．
（Ⅰ）求函數f（x）的單調區間；
（Ⅱ）若函數y=f（x）的圖象在點（2，f（2））處的切線的傾斜角為45°，對于任意的t∈[1，2]，函數g（x）=x3+x2（f'（x）+ ）在區間（t，3）上總不是單調函數，求m的取值范圍；
（Ⅲ）求證： × × ×…× ＜ （n≥2，n∈N*）．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）
當a＞0時，f（x）的單調增區間為（0，1]，減區間為[1，+∞）；
當a＜0時，f（x）的單調增區間為[1，+∞），減區間為（0，1]；
當a=0時，f（x）不是單調函數
（Ⅱ） 得a=﹣2，f（x）=﹣2lnx+2x﹣3
∴ ，
∴g'（x）=3x2+（m+4）x﹣2
∵g（x）在區間（t，3）上總不是單調函數，且g′（0）=﹣2
∴
由題意知：對于任意的t∈[1，2]，g′（t）＜0恒成立，
所以有： ，∴
（Ⅲ）令a=﹣1此時f（x）=﹣lnx+x﹣3，所以f（1）=﹣2，
由（Ⅰ）知f（x）=﹣lnx+x﹣3在（1，+∞）上單調遞增，
∴當x∈（1，+∞）時f（x）＞f（1），即﹣lnx+x﹣1＞0，
∴lnx＜x﹣1對一切x∈（1，+∞）成立，
∵n≥2，n∈N*，則有0＜lnn＜n﹣1，
∴
∴
【解析】利用導數求函數的單調區間的步驟是①求導函數f′（x）；②解f′（x）＞0（或＜0）；③得到函數的增區間（或減區間），
對于本題的（1）在求單調區間時要注意函數的定義域以及對參數a的討論情況；（2）點（2，f（2））處的切線的傾斜角為45°，即切線斜率為1，即f'（2）=1，可求a值，代入得g（x）的解析式，由t∈[1，2]，且g（x）在區間（t，3）上總不是單調函數可知： ，于是可求m的范圍．（3）是近年來高考考查的熱點問題，即與函數結合證明不等式問題，常用的解題思路是利用前面的結論構造函數，利用函數的單調性，對于函數取單調區間上的正整數自變量n有某些結論成立，進而解答出這類不等式問題的解．
【考點精析】認真審題，首先需要了解利用導數研究函數的單調性(一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減)．