Question

【題目】已知遞增數列{an}，a1=2，其前n項和為Sn ， 且滿足3（Sn+Sn﹣1）= +2（n≥2）．
（1）求數列{an}的通項公式；
（2）若數列{bn}滿足 =n，求其前n項和Tn ．

Answer 1

【答案】
（1）解：3（Sn+Sn﹣1）= +2（n≥2），

可得3（Sn﹣1+Sn﹣2）=an﹣12+2（n≥3）．

兩式相減可得3（an+an﹣1）=（an+an﹣1）（an﹣an﹣1），

由遞增數列{an}，a1=2，

可得an﹣an﹣1=3，（n≥3）．

由3（a1+a2+a1）=a22+2，3（a1+a2+a3+a1+a2）=a32+2，

求得a2=5，a3=8，

由等差數列的通項公式可得an=8+3（n﹣3）=3n﹣1，

上式對n=1，2也成立，

故數列{an}的通項公式為an=3n﹣1；

（2）解：數列{bn}滿足 =n，

可得bn=（3n﹣1）2n，

前n項和Tn=22+522+823+…+（3n﹣1）2n，

2Tn=222+523+824+…+（3n﹣1）2n+1，

兩式相減可得，﹣Tn=4+3（22+23+…+2n）﹣（3n﹣1）2n+1

=4+3 ﹣（3n﹣1）2n+1，

化簡可得Tn=（3n﹣4）2n+1+8

【解析】（1）運用數列的遞推式，n≥2時，an=Sn﹣Sn﹣1 ， 結合條件和等差數列的定義和通項公式即可得到所求；（2）求出bn=（3n﹣1）2n ， 運用數列的求和方法：錯位相減法，結合等比數列的求和公式，化簡整理，即可得到所求和．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解數列的前n項和的相關知識，掌握數列{an}的前n項和sn與通項an的關系，以及對數列的通項公式的理解，了解如果數列an的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數列的通項公式．