Question

【題目】設常數．

（1）若在處取得極小值為，求和的值；

（2）對于任意給定的正實數、，證明：存在實數，當時， ．

Answer 1

【答案】（1）.（2）見解析

【解析】試題分析：（1）本問考查極值點導數為，根據極值點導數為0，對函數求導， ， ， ，再根據，可以求出的值；（2）本問考查存在性問題的證明，主要是將問題進行轉化， ,記,故只需證明:存在實數,當時, ,而 ,設，通過證明得到恒有.即當時, 恒有成立.

試題解析：（1）

，

∵，∴.

將代入得

當時, , 遞減；

時, , 遞增；

故當時, 取極小值,

令,解得.

(Ⅱ)因為,

記,故只需證明:存在實數,當時, ,

[方法1] ,

設,則.

易知當時, ,故.

又由解得: ,即

取,則當時, 恒有.

即當時, 恒有成立.

[方法2] 由,得: ,

故是區間上的增函數.令,

則,因為,

故有,

令,解得: ,

設是滿足上述條件的最小正整數,取,則當時, 恒有,

即成立.