Question

【題目】已知橢圓C的中心在原點，焦點在x軸上，離心率為 ，短軸長為4 ． （Ⅰ）求橢圓C的標準方程；
（Ⅱ）直線x=2與橢圓C交于P、Q兩點，A、B是橢圓O上位于直線PQ兩側的動點，且直線AB的斜率為 ．
①求四邊形APBQ面積的最大值；
②設直線PA的斜率為k1 ， 直線PB的斜率為k2 ， 判斷k1+k2的值是否為常數，并說明理由．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）設橢圓C的方程為 ． 由已知b=2 ，離心率e= ，a2=b2+c2 ， 得a=4，
所以，橢圓C的方程為 ．
（Ⅱ）①由（Ⅰ）可求得點P、Q的坐標為P（2，3），Q（2，﹣3），則|PQ|=6，
設A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），直線AB的方程為y= x+t，代入 ，
得：x2+tx+t2﹣12=0．
由△＞0，解得﹣4＜t＜4，由根與系數的關系得 ，
四邊形APBQ的面積 ，
故當t=0時， ；
②由題意知，直線PA的斜率 ，直線PB的斜率 ，
則
=
= ，
由①知 ，
可得 ，
所以k1+k2的值為常數0
【解析】（Ⅰ）設橢圓C的方程為 ，由短軸長可得b值，根據離心率為 及a2=b2+c2 ， 得a值； （Ⅱ）①設A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），直線AB的方程為y= x+t，代入 得x的二次方程，四邊形APBQ的面積S= = ，而|PQ|易求，代入韋達定理即可求得S的表達式，由表達式即可求得S的最大值；②直線PA的斜率 ，直線PB的斜率 ，代入韋達定理即可求得k1+k2的值；
【考點精析】本題主要考查了橢圓的標準方程的相關知識點，需要掌握橢圓標準方程焦點在x軸：，焦點在y軸：才能正確解答此題．