Question

【題目】如圖所示，在四棱錐P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，PD=AB=2，E為PC中點．求二面角E﹣BD﹣P的余弦值．

Answer 1

【答案】解：以點D為坐標原點，分別以直線DA，DC，DP為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標系， 則D（0，0，0），P（0，0，2），B（2，2，0），E（0，1，1），
=（2，2，0）， =（0，1，1）．
設平面BDE的法向量為 =（x，y，z），
則 ，令z=1，得y=﹣1，x=1．∴平面BDE的一個法向量為 =（1，﹣1，1）．
又∵C（0，2，0），A（2，0，0）， =（﹣2，2，0），且AC⊥平面PDB，
∴平面PDB的一個法向量為 =（1，﹣1，0）．
設二面角E﹣BD﹣P的平面角為α，
則cosα= = = ．
∴二面角E﹣BD﹣P的余弦值為 ．

【解析】以點D為坐標原點，分別以直線DA，DC，DP為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，由此能求出二面角E﹣BD﹣P的余弦值．