Question

【題目】在△ABC中，三個內角是A，B，C的對邊分別是a，b，c，其中c=10，且 ．
（1）求證：△ABC是直角三角形；
（2）設圓O過A，B，C三點，點P位于劣弧AC上，∠PAB=60°，求四邊形ABCP的面積．

Answer 1

【答案】
（1）證明：根據正弦定理得， ．

整理為：sinAcosA=sinBcosB，即sin2A=sin2B，

因為0＜A＜π，0＜B＜π，所以0＜2A＜2π，0＜2B＜2π，所以A=B，或者A+B= ．

由于 ，

故△ABC是直角三角形．

（2）解：由（1）可得：a=6，b=8．

在Rt△ABC中，sin∠CAB= = ，cos∠CAB=

sin∠PAC=sin（60°﹣∠CAB）

=sin60°cos∠CAB﹣cos60°sin∠CAB

= ．

連接PB，在Rt△APB中，AP=ABcos∠PAB=5．

所以四邊形ABCP的面積

S四邊形△ABCP=S△ABC+S△PAC

=

= ．

【解析】（1）由題設條件 ．利用正弦定理可得 ，整理得討論知，A=B或者A+B= ．又 ，所以A+B= ． 由此可以得出，△ABC是直角三角形；（2）將四邊形ABCP的面積表示成兩個三角形S△ABC與S△PAC的和，S△ABC易求，S△PAC需求出線段PA的長度與sin∠PAC的值，利用三角形的面積公式求解即可．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用正弦定理的定義的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握正弦定理:．