Question

【題目】在數列{an}，{bn}中，已知a1=2，b1=4，且﹣an ， bn ， an+1成等差數列，﹣bn ， an ， bn+1也成等差數列． （Ⅰ）求證：數列{an+bn}和{an﹣bn}都是等比數列，并求數列{an}的通項公式；
（Ⅱ）若cn=（an﹣3n）log3[an﹣（﹣1）n]，求數列{cn}的前n項和Tn ．

Answer 1

【答案】（I）證明：∵﹣an ， bn ， an+1成等差數列，﹣bn ， an ， bn+1也成等差數列． ∴bn= ，an= ，
∴an+bn= [（an+1+bn+1）﹣（an+bn）]，即an+1+bn+1=3（an+bn），
又∵a1+b1=1+2=3，∴數列{an+bn}是首項、公比均為3的等比數列；
同理可得：﹣an+bn= [（an+1﹣bn+1）+（﹣an+bn）]，即an+1﹣bn+1=﹣（an﹣bn），
又∵﹣a1+b1=﹣1+2=1，
∴數列{bn﹣an}是首項為1、公比均為﹣1的等比數列，
∴bn﹣an=（﹣1）n+1 ，
又∵bn+an=3n ，
∴an= = [3n﹣（﹣1）n+1]；
（II）解：∵cn=（2an﹣3n）log3[2an﹣（﹣1）n]
=[3n﹣（﹣1）n+1﹣3n]log3[3n﹣（﹣1）n+1﹣（﹣1）n]
=（﹣1）nn，
∴Tn=﹣1+2﹣3+4﹣…+（﹣1）nn，
﹣Tn=1﹣2+3﹣4+…+（﹣1）n（n﹣1）+（﹣1）n+1n，
兩式相減得：2Tn=﹣1+1﹣1+1﹣…﹣1﹣（﹣1）n+1n，
∴Tn= { +（﹣1）nn}
【解析】（I）﹣an ， bn ， an+1成等差數列，﹣bn ， an ， bn+1也成等差數列．可得bn= ，an= ，an+bn= [（an+1+bn+1）﹣（an+bn）]，即an+1+bn+1=3（an+bn），即可證明數列{an+bn}是首項、公比均為3的等比數列．同理可得：數列{bn﹣an}是首項為1、公比均為﹣1的等比數列．可得an= ．（II）cn=（2an﹣3n）log3[2an﹣（﹣1）n]=（﹣1）nn，利用“錯位相減法”與等比數列的求和公式即可得出．
【考點精析】本題主要考查了等比數列的通項公式（及其變式）和數列的前n項和的相關知識點，需要掌握通項公式：；數列{an}的前n項和sn與通項an的關系才能正確解答此題．