Question

【題目】如圖，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=BC=BB1 ， AB1∩A1B=E，D為AC上的點，B1C∥平面A1BD．
（1）求證：BD⊥平面A1ACC1；
（2）若AB=1，且ACAD=1，求二面角B﹣A1D﹣B1的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連結ED，

∵平面AB1C∩平面A1BD=ED，B1C∥平面A1BD，

∴B1C∥ED，

∵E為AB1中點，∴D為AC中點，

∵AB=BC，∴BD⊥AC①，

法一：由A1A⊥平面ABC，BD平面ABC，得A1A⊥BD，②，

由①②及A1A、AC是平面A1ACC1內的兩條相交直線，

得BD⊥平面A1ACC1．

法二：由A1A⊥平面ABC，A1A平面A1ACC1，

∴平面A1ACC1⊥平面ABC，又平面A1ACC1∩平面ABC=AC，

得BD⊥平面A1ACC1．

（2）解：由AB=1，得BC=BB1=1，

由（1）知DA= AC，又ACDA=1，得AC2=2，

∵AC2=2=AB2+BC2，∴AB⊥BC，

如圖以B為原點，建立空間直角坐標系B﹣xyz，如圖示，

則A1（1，0，1），B1（0，0，1），D（ ），

得 =（1，0，0）， =（ ），

設 =（x，y，z）是平面A1B1D的一個法向量，

則 ，令z=1，得 =（0，2，1），

設 =（a，b，c）為平面A1BD的一個法向量，則 ，

令c=1，得 =（﹣1，1，1），

依題意知二面角B﹣A1D﹣B1為銳二面角，設其大小為θ，

則cosθ=|cos＜ ＞|= = = ，

即二面角B﹣A1D﹣B1的余弦值為 ．

其它解法請參照給分．

【解析】（Ⅰ）法一：連結ED，推導出B1C∥ED，BD⊥AC，A1A⊥BD，由此能證明BD⊥平面A1ACC1 ． 法二：連結ED，推導出A1A⊥平面ABC，由平面A1ACC1⊥平面ABC，能證明BD⊥平面A1ACC1 ． （Ⅱ）以B為原點，建立空間直角坐標系B﹣xyz，利用向量法能求出二面角B﹣A1D﹣B1的余弦值．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解直線與平面垂直的判定的相關知識，掌握一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉化的數學思想．