Question

【題目】已知橢圓C： 的短軸長為2 ，離心率e= ，
（1）求橢圓C的標準方程：
（2）若F1、F2分別是橢圓C的左、右焦點，過F2的直線l與橢圓C交于不同的兩點A、B，求△F1AB的內切圓半徑的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意可得 …

解得

故橢圓的標準方程為

（2）解：設A（x1，y1），B（x2，y2），設△F1AB的內切圓的半徑為R，

因為△F1AB的周長為4a=8， ，

因此 最大，R就最大…（6分） ，

由題意知，直線l的斜率不為零，可設直線l的方程為x=my+1，

由 得（3m2+4）y2+6my﹣9=0，

所以，

又因直線l與橢圓C交于不同的兩點，

故△＞0，即（6m）2+36（3m2+4）＞0，m∈R，則

令 ，則t≥1， ．

令 ，由函數的性質可知，函數f（t）在 上是單調遞增函數，

即當t≥1時，f（t）在[1，+∞）上單調遞增，

因此有 ，所以 ，

即當t=1，m=0時， 最大，此時 ，

故當直線l的方程為x=1時，△F1AB內切圓半徑的最大值為

【解析】（1）利用已知條件列出方程組求出a，b，然后求解橢圓的方程．（2）設A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），設△F1AB的內切圓的半徑為R，表示出△F1AB的周長與面積，設直線l的方程為x=my+1，聯立直線與橢圓方程，利用韋達定理，表示三角形面積，令 ，利用基本不等式求解面積的最大值，然后求解△F1AB內切圓半徑的最大值為 ．